Differences

This shows you the differences between two versions of the page.

--- bn:un:vector-field [2024/10/11 02:28] – created asad
+++ bn:un:vector-field [2024/10/11 05:08] (current) – [3. কার্ল] asad
@@ Line 4: / Line 4: @@
 ===== - গ্র্যাডিয়েন্ট =====
-একটা স্কেলার ফিল্ড $f$কে গ্র্যাডিয়েন্টের (ন্যাবলা $\nabla$) মাধ্যমে ভেক্টর ফিল্ডে ($\mathbf{F}$) রূপান্তরিত করা যায়, যার গাণিতিক রূপ নিচে তিন মাত্রার ইউক্লিডিয়ান স্পেসে কার্তেসিয়ান কোওর্ডিনেট ইউজ করে দেখানো হয়েছে।
+একটা স্কেলার ফিল্ড $f$কে গ্র্যাডিয়েন্টের (ন্যাবলা বা ডেল: $\nabla$) মাধ্যমে ভেক্টর ফিল্ডে ($\mathbf{F}$) রূপান্তরিত করা যায়, যার গাণিতিক রূপ নিচে তিন মাত্রার ইউক্লিডিয়ান স্পেসে কার্তেসিয়ান কোওর্ডিনেট ইউজ করে দেখানো হয়েছে।
 $$ \mathbf{F} = \nabla f = \frac{\partial f}{\partial x} \hat{i} + \frac{\partial f}{\partial y} \hat{j} + \frac{\partial f}{\partial z} \hat{k} $$
-যেখানে $i,j,k$ যথাক্রমে $x,y,z$ দিকের ইউনিট ভেক্টর। এর একটা দ্বিমাত্রিক ভিজুয়ালাইজেশন নিচে।
+যেখানে $\hat{i},\hat{j},\hat{k}$ যথাক্রমে $x,y,z$ অর্ডিনেটের ইউনিট ভেক্টর। এর একটা দ্বিমাত্রিক ভিজুয়ালাইজেশন নিচে দেখানো হয়েছে।
 [[https://colab.research.google.com/drive/1lqDuhUijNFqChy--5mD-Hj6230YAUiV-?usp=sharing|{{:bn:un:gradient.png?nolink|}}]]
@@ Line 15: / Line 15: @@
 ===== - ডাইভার্জেন্স =====
+একটা ভেক্টর ফিল্ডের ভিতরে কোন জায়গায় সোর্স (আউটওয়ার্ড ভেক্টর) বা সিংকের (ইনওয়ার্ড ভেক্টর) পরিমাণ কেমন তা ডাইভার্জেন্স দিয়ে জানা যায়। ফিল্ডের কোনো পয়েন্টে ডাইভার্জেন্স পজিটিভ মানে সেই পয়েন্টে ঢুকতে থাকা ভেক্টরের চেয়ে সেখান থেকে বের হতে থাকা ভেক্টরের ম্যাগ্নিচুড বেশি। আর উল্টাভাবে কোনো পয়েন্টে ডাইভার্জেন্স নেগেটিভ মানে সেখান থেকে বের হতে থাকা ভেক্টরের চেয়ে ঢুকতে থাকা ভেক্টরের ম্যাগ্নিচুড বেশি। একটা ফ্লুয়িডের ভেলোসিটি ফিল্ড দিয়ে এটা ভালো বুঝা যায়। যদি একটা পয়েন্টে ফ্লুয়িড যত বেগে আসছে তার চেয়ে বেশি বেগে বের হয় তাহলে সেখানে ডাইভার্জেন্স পজিটিভ, এবং ভাইস ভার্সা। তিন মাত্রায় ডাইভার্জেন্সের গাণিতিক রূপ হবে এমন:
+$$ \nabla\cdot \mathbf{F} = \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z} $$
+যেখানে $F_x,F_y,F_z$ হলো $\mathbf{F}$-এর তিনটা কম্পোনেন্ট। ডাইভার্জেন্স একটা স্কেলার রাশি।
+{{:bn:un:divergence.png?nolink|}}
+উপরের ছবিতে প্রথম সেকশনে উল্লেখ করা ভেক্টর ফিল্ডের (অ্যারো) ডাইভার্জেন্স $e^{-(x^2+y^2)}(1-2x^2)$ দেখানো হয়েছে কালারের মাধ্যমে।
 ===== - কার্ল =====
+কার্ল একটা ভেক্টর ফিল্ডের সার্কুলেশন বুঝায়, মানে সেই ফিল্ডে কি পরিমাণ সার্কুলার গতি আছে তা। দ্বিমাত্রিক ফিল্ডের যেকোনো জায়গায় একটা সার্কুলার এরিয়ার উপরের ভেক্টরের তুলনায় নিচে ভেক্টরগুলোর মান যদি কম হয়, তাহলে ঘড়ির কাঁটার দিকে একটা রোটেশন তৈরি হবে, এবং এক্ষেত্রে কার্ল হবে নেগেটিভ। ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে রোটেশন থাকলে কার্ল হয় পজিটিভ। কার্লের গাণিতিক রূপ হলো:
+$$ \nabla\times \mathbf{F} = \left(\frac{\partial F_z}{\partial F_y}-\frac{\partial F_y}{\partial F_z}\right) \hat{i} + \left(\frac{\partial F_x}{\partial F_z}-\frac{\partial F_z}{\partial F_x}\right) \hat{j} + \left(\frac{\partial F_y}{\partial F_x}-\frac{\partial F_x}{\partial F_y}\right) \hat{k} $$
+{{:bn:un:curl.png?nolink|}}
+উপরের ছবিতে প্রথম সেকশনে উল্লেখ করা ভেক্টর ফিল্ডের (অ্যারো) কার্লের $z$-কম্পোনেন্ট $e^{-(x^2+y^2)}2xy$ দেখানো হয়েছে কালারের মাধ্যমে। কার্ল ভেক্টর রাশি, তবে এখানে ফিল্ডটা দ্বিমাত্রিক হওয়ায় কার্লের এক্স ও ওয়াই কম্পোনেন্ট শূন্য হবে।