যদি $m$ নগণ্য হয়, তাহলে বল

$$ F = \frac{GM}{r^2} $$

$$ \frac{dF}{dr} = \lim_{\Delta r \to 0} \frac{F(r + \Delta r) - F(r)}{\Delta r} $$

$$ \frac{F(r + \delta r) - F(r)}{\delta r} \approx \frac{dF}{dr} $$

$$ \Rightarrow F(r + \delta r) - F(r) \approx \frac{dF}{dr} \, \delta r $$

$$ \delta F \approx \frac{dF}{dr} \, \delta r = \frac{2GM}{r^3} d $$

যদি ছোট বস্তুর ব্যাস $d=\delta r$ হয়।

পৃথিবীর উপর সূর্যের টাইডাল ইফেক্ট চাঁদের অর্ধেক। অমাবস্যা ও পূর্ণিমার সময় টাইড সবচেয়ে বড় হয়।

৩৫ কোটি বছর আগে দিনের দৈর্ঘ ছিল ৪০০ দিন; তার মানে দিনের দৈর্ঘ আরো কম ছিল।

$$ \begin{aligned} \mu_m &= \frac{M_e M_m}{M_e + M_m} \\[4pt] I_e &= \frac{2}{5} M_e R_e^2 \\[4pt] J &= I_e\,\omega_e + \mu_m d^2 \Omega_m \\[4pt] P^2 &= \frac{4\pi^2 a^3}{G(M_e+M_m)} \\[2pt] \Omega_m &= \frac{2\pi}{P} \\[2pt] \Rightarrow\ \Omega_m^2 &= \frac{4\pi^2}{P^2} = \frac{4\pi^2}{\dfrac{4\pi^2 a^3}{G(M_e+M_m)}} = \frac{G(M_e+M_m)}{a^3} \\[2pt] a&=d \\[2pt] \Rightarrow\ \Omega_m^2 &= \frac{G(M_e+M_m)}{d^3} \\[4pt] \mu_m d^2 \Omega_m &= \mu_m d^2 \sqrt{\frac{G(M_e+M_m)}{d^3}} = \mu_m \sqrt{\frac{d^4\,G(M_e+M_m)}{d^3}} = \mu_m \sqrt{d\,G(M_e+M_m)} \\[4pt] \therefore\quad J &= \frac{2}{5} M_e R_e^2\,\omega_e + \mu_m \sqrt{d\,G(M_e+M_m)} \,. \end{aligned} $$

৩ঃ২

$$ \begin{aligned} F_{\text{tidal}} &\simeq \frac{2 G M_p R_m}{r^3} \\[4pt] \frac{G M_m}{R_m^{2}} &= \frac{2 G M_p R_m}{r^3} \\[4pt] \Rightarrow\ \frac{M_m}{R_m^{2}} &= \frac{2 M_p R_m}{r^3} \\[4pt] M_m &= \frac{4}{3}\pi R_m^{3}\rho_m,\qquad M_p=\frac{4}{3}\pi R_p^{3}\rho_p \\[4pt] \Rightarrow\ \frac{\frac{4}{3}\pi R_m^{3}\rho_m}{R_m^{2}} &= \frac{2\left(\frac{4}{3}\pi R_p^{3}\rho_p\right)R_m}{r^{3}} \\[4pt] \Rightarrow\ \frac{4}{3}\pi R_m \rho_m &= \frac{8}{3}\pi \frac{R_p^{3}\rho_p R_m}{r^{3}} \\[4pt] \Rightarrow\ \rho_m &= 2\,\rho_p\,\frac{R_p^{3}}{r^{3}} \\[4pt] \Rightarrow\ r^{3} &= 2\,\frac{\rho_p}{\rho_m}\,R_p^{3} \\[4pt] \therefore\quad r_{\text{crit}} &= 2^{1/3}\!\left(\frac{\rho_p}{\rho_m}\right)^{1/3} R_p \\[8pt] r_{\text{crit}} &\approx 2.456\left(\frac{\rho_p}{\rho_m}\right)^{1/3} R_p \quad (\text{Roche}) \end{aligned} $$