Differences

This shows you the differences between two versions of the page.

--- bn:un:keplers-laws [2025/08/11 03:00] – asad
+++ bn:un:keplers-laws [2025/08/11 03:14] (current) – [1. তিন ল] asad
@@ Line 9: / Line 9: @@
 যেকোনো প্ল্যানেটারি সিস্টেমে একটা গ্রহের অর্বিট নিচের তিনটা ল মেনে চলে।
   - গ্রহের অর্বিট সব সময় এলিপ্টিকেল, উপবৃত্তাকার, এবং তারা সেই এলিপ্সের একটা ফোকাসে থাকে।
-  - গ্রহ ও তারা যোগ করে যে সরলরেখা পাওয়া যায় তা সমান সময়ে সমান এরিয়া তৈরি করে।
+  - গ্রহ ও তারা যোগ করে যে সরলরেখা পাওয়া যায় তা সমান সময়ে ($t$) সমান এরিয়া ($A$) সুইপ করে, মানে $dA/dt$ কন্সটেন্ট থাকে।
-  - গ্রহের পিরিয়ডের স্কয়ার তার সেমি-মেজর এক্সিসের কিউবের সমানুপাতিক।
+  - গ্রহের পিরিয়ডের ($P$) স্কয়ার তার সেমি-মেজর এক্সিসের ($a$) কিউবের সমানুপাতিক, মানে $P^2\propto a^3$।
 {{https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/69/Kepler-second-law.gif?nolink}}
+সেকেন্ড ল উপরের ডায়াগ্রামে দেখানো হয়েছে। গ্রহের বেগ ঠিক এমনভাবে পাল্টায় যাতে নীল অংশটার এরিয়া সব সময় ধ্রুব থাকে। এই নীল অংশ অর্বিতে যে আর্ক তৈরি করছে, সেই আর্কটুক অতিক্রম করতে গ্রহ সব সময় সমান সময় নেয়। তারার কাছে আসলে আর্ক বেড়ে যাচ্ছে, দূরে আর্ক কমে যাচ্ছে। এই দুই আর্ক যদি গ্রহকে একই সময়ে অতিক্রম করতে হয়, তাহলে তারার কাছে গ্রহের বেগ বেশি হতে হবে, আর দূরে কম হতে হবে। সুতরাং সেকেন্ড ল গ্রহের বেগের সাথে সম্পর্কিত।
+থার্ড ল খুব সহজেই [[newtons-law-gravitation|নিউটনের মহাকর্ষ সূত্র]] থেকে প্রমাণ করা যায়। তারার ভর $M$ আর গ্রহের ভর $m$ হলে এবং তাদের মধ্যে গড় দূরত্ব $r$ হলে, তারা ও গ্রহের মধ্যে মহাকর্ষ বল
+$$ F = \frac{GMm}{r^2} $$
+যেখানে এই বল সেন্ট্রিপেটাল এক্সিলারেশনের ($v^2/r$) মাধ্যমে লেখা যায়। সেন্ট্রিপেটাল ফোর্স $F=mv^2/r=m\omega^2 r$, কারণ এঙ্গুলার ভেলোসিটি $\omega$ হলে লিনিয়ার ভেলোসিটি $v=\omega r$। আবার গ্রহ তারার চারদিকে একবার ঘুরতে যে সময় লাগে, মানে তার পিরিয়ড $P=2\pi/\omega$। সুতরাং এঙ্গুলার বেগ $\omega=2\pi/P$; এটা ইউজ করে এবং দূরত্বকে ($r$) সেমি-মেজর এক্সিস ($a$) দিয়ে রিপ্লেস করে লেখা যায়
+$$ m\omega^2 a = ma \frac{4\pi^2}{P^2} = \frac{GMm}{a^2} \Rightarrow P^2 = \frac{4\pi^2 a^3}{GM} $$
+$$  P^2 = \frac{4\pi^2 a^3}{G(M+m)} $$