Differences

This shows you the differences between two versions of the page.

--- bn:un:electric-drift [2024/10/29 06:52] – asad
+++ bn:un:electric-drift [2024/11/06 11:17] (current) – asad
@@ Line 1: / Line 1: @@
 ====== ইলেক্ট্রিক ড্রিফট ======
 ম্যাগ্নেটিক ফিল্ডের মধ্যে চার্জ ঘুরবে সার্কুলার পথে যদি তার বেগের কোনো কম্পোনেন্ট ফিল্ডের দিকে না থাকে। যদি ফিল্ডের দিকে কোনো কম্পোনেন্ট থাকে তাহলে তৈরি হয় হেলিকেল গতি, যার নাম [[em-gyration|ইলেক্ট্রোম্যাগ্নেটিক জাইরেশন]]। এই জাইরেশনের উপরে আবার থাকতে পারে ইলেক্ট্রিক ড্রিফট যদি ইলেক্ট্রিক ফিল্ড সময়ের সাথে পাল্টায় বা স্থানে ইউনিফর্ম না হয়। ড্রিফটের কারণে জাইরেটিং কণার হেলিকেল পথ নির্দিষ্ট কোনো দিকে সরতে থাকে। আমরা দুই ধরনের ড্রিফট নিয়ে আলোচনা করব: ই-ক্রস-বি ড্রিফট (ক্রস-ফিল্ড ড্রিফট) আর পোলারাইজেশন ড্রিফট।
 ===== - ই-ক্রস-বি ড্রিফট =====
 ধরা যাক একটা চার্জ ম্যাগ্নেটিক ফিল্ডের মধ্যে জাইরেট করছে, এবং সেখানে এক্সটার্নাল ইলেক্ট্রিক ফিল্ডও আছে। তাহলে কণার গতির সমীকরণের দুই কম্পোনেন্ট আলাদা করে লেখা যায়: ম্যাগ্নেটিক ফিল্ডের প্যারালাল দিকে ও পার্পেন্ডিকুলার দিকে। প্যারালাল কম্পোনেন্ট
@@ Line 16: / Line 18: @@
 কারণ $\dot{v}_x = (qB/m)v_y+qE_x/m$ এবং $\omega_g=qB/m$; ওয়াই-কম্পোনেন্টের ক্ষেত্রে কোনো ই-ফিল্ড থাকবে না। উপরের দুই সমীকরণ ডিফারেনশিয়েট করলে পাওয়া যাবে
-$$\begin{align}
+$$\begin{align*}
 & \ddot{v}_x = - \omega_g^2 v_x \\
 & \ddot{v}_y = - \omega_g^2 \left(v_y+\frac{E_x}{B}\right)
-\end{align}$$
+\end{align*}$$
 যা দেখতে হুবহু [[em-gyration|জাইরেশনের ইকুয়েশনের]] মতো যদি $v_y+E_x/B\equiv v_y'$ ধরে নেয়া হয়। সুতরাং এই দুই সমীকরণও একটা জাইরেশন বর্ণনা করছে, যদিও এক্ষেত্রে জাইরেশনের গাইডিং সেন্টার আবার $-y$ দিকে ড্রিফট করছে। গাইডিং সেন্টারের এই ড্রিফটের নাম ই-ক্রস-বি ড্রিফট, এর বেগ
@@ Line 29: / Line 31: @@
 {{https://svs.gsfc.nasa.gov/vis/a000000/a004200/a004265/EBvOrthogonal.HD1080.webm?600}}
-এখানে বি-ফিল্ডের সাথে লম্বভাবে আছে ই-ফিল্ড এবং একটা আয়ন ও ইলেক্ট্রনের জাইরেশনের প্লেন। ই-ফিল্ডের দিকে গেলে আয়নের এক্সিলারেশন হয়, বিপরীত দিকে হয় ডিসিলারেশন। ইলেক্ট্রনের ক্ষেত্রে উল্টা ই-ফিল্ডের দিকে হয় ডিসিলারেশন, আর বিপরীত দিকে এক্সিলারেশন। কিন্তু ইলেক্ট্রনের জাইরেশনও যেহেতু উল্টা দিকে, সেহেতু ড্রিফট শেষ পর্যন্ত একই দিকে হয়। আয়নের উদাহরণ দিয়ে ব্যাপারটা আরেকটু ক্লিয়ার করা যায়। আয়ন যখন ই-ফিল্ডের দিকে যায় তখন তার এক্সিলারেশন হওয়ায় জাইরো-রেডিয়াস বেড়ে যায়, আর বিপরীত দিকে রেডিয়াস কমে যায়, ব্যাসার্ধ একবার বাড়া ও একবার কমার কারণে পুরো জাইরো-অর্বিটের সেন্টার অর্থাৎ গাইডিং সেন্টার এক দিকে ড্রিফট করতে শুরু করে। ড্রিফটের দিক হলো ই ও বি ফিল্ডের ক্রস প্রডাক্টের দিকে, অর্থাৎ দুই ফিল্ডের সাথেই পার্পেন্ডিকুলার।
+এখানে বি-ফিল্ডের সাথে লম্বভাবে আছে ই-ফিল্ড এবং একটা আয়ন ও ইলেক্ট্রনের জাইরেশনের প্লেন। ই-ফিল্ডের দিকে গেলে আয়নের এক্সিলারেশন হয়, বিপরীত দিকে হয় ডিসিলারেশন। ইলেক্ট্রনের ক্ষেত্রে উল্টা ই-ফিল্ডের দিকে হয় ডিসিলারেশন, আর বিপরীত দিকে এক্সিলারেশন। কিন্তু ইলেক্ট্রনের জাইরেশনও যেহেতু উল্টা দিকে, সেহেতু দুই ধরনের চার্জের ড্রিফট শেষ পর্যন্ত একই দিকে হয়। আয়নের উদাহরণ দিয়ে ব্যাপারটা আরেকটু ক্লিয়ার করা যায়। আয়ন যখন ই-ফিল্ডের দিকে যায় তখন তার এক্সিলারেশন হওয়ায় জাইরো-রেডিয়াস বেড়ে যায়, আর বিপরীত দিকে রেডিয়াস কমে যায়, ব্যাসার্ধ একবার বাড়া ও একবার কমার কারণে পুরো জাইরো-অর্বিটের সেন্টার অর্থাৎ গাইডিং সেন্টার এক দিকে ড্রিফট করতে শুরু করে। ড্রিফটের দিক হলো ই ও বি ফিল্ডের ক্রস প্রডাক্টের দিকে, অর্থাৎ দুই ফিল্ডের সাথেই পার্পেন্ডিকুলার।
-চলমান চার্জের মুভিং সিস্টেমে ইলেক্ট্রিক ফিল্ডের যে-লরেঞ্জ ট্রান্সফর্মেশন হয় তার মধ্যেই পাওয়া যায় ড্রিফটের আসল ব্যাখ্যা। মুভিং সিস্টেমে ট্রান্সফর্মড ফিল্ড
+চলমান চার্জের মুভিং সিস্টেমে ইলেক্ট্রিক ফিল্ডের যে [[lorentz transformation|লরেঞ্জ ট্রান্সফর্মেশন]] হয় তার মধ্যেই পাওয়া যায় ড্রিফটের আসল ব্যাখ্যা। মুভিং সিস্টেমে ট্রান্সফর্মড ফিল্ড
 $$ \mathbf{E}' = \mathbf{E} + \mathbf{v}\times\mathbf{B} = 0 $$
@@ Line 42: / Line 44: @@
 ===== - পোলারাইজেশন ড্রিফট =====
+ই ও বি ফিল্ডে থাকা চার্জের গতির সমীকরণ থেকে সরাসরি উপরের সমীকরণ এবং আরো একটি ড্রিফটের রিলেশন বের করা যায়। গতির সমীকরণের দুই সাইডের সাথে $\mathbf{B}/B^2$ এর ক্রস প্রডাক্ট নিলে পাব
+\begin{align*}
+& m\frac{d\mathbf{v}}{dt}\times\frac{\mathbf{B}}{B^2} = q\frac{\mathbf{E}\times\mathbf{B}}{B^2} + \frac{q}{B^2} (\mathbf{B}\times\mathbf{v}\times\mathbf{B}) \\
+& \Rightarrow \frac{m}{q}\frac{d\mathbf{v}}{dt}\times\frac{\mathbf{B}}{B^2} = \frac{\mathbf{E}\times\mathbf{B}}{B^2} + \frac{q}{B^2}[(\mathbf{B}\cdot\mathbf{B})\mathbf{B} - (\mathbf{B}\cdot\mathbf{v})\mathbf{B}] \\
+& \Rightarrow  \mathbf{v} - \frac{\mathbf{B(\mathbf{v}\cdot\mathbf{B})}}{B^2} = \frac{\mathbf{E}\times\mathbf{B}}{B^2} - \frac{m}{q}\frac{d\mathbf{v}}{dt}\times\frac{\mathbf{B}}{B^2}
+\end{align*}
+যেখানে বাম পাশের দুইটা টার্ম একসাথে একটা পার্পেন্ডিকুলার ভেলোসিটি ভেক্টর দেয়, আর ডান পাশের প্রথম টার্মটা হলো ই-ক্রস-বি ড্রিফট। জাইরো-পিরিয়ডের মধ্যে ঘটা সব টেম্পোরাল পরিবর্তন নগণ্য ধরে নিলে এই পার্পেন্ডিকুলার বেগকেই পার্পেন্ডিকুলার ড্রিফট ভেলোসিটি $\mathbf{v}_d$ হিসেবে চিন্তা করা যায়। তাহলে
+$$ \mathbf{v}_d = \mathbf{v}_E - \frac{m}{qB^2} \frac{d}{dt}(\mathbf{v}\times\mathbf{B}) = \mathbf{v}_E + \frac{1}{\omega_g B} \frac{d\mathbf{E}_\perp}{dt} $$
+কারণ আমরা আগেই লরেঞ্জ ট্রান্সফর্মেশনে দেখেছি $\mathbf{v}\times\mathbf{B}=-\mathbf{E}$ এবং জাইরো-ফ্রিকোয়েন্সি $\omega_g = qB/m$; এই সমীকরণের ডান সাইডের শেষ টার্মটারই নাম পোলারাইজেশন ড্রিফট
+$$ \mathbf{v}_p = \frac{1}{\omega_g B} \frac{d\mathbf{E}_\perp}{dt} $$
+যা অন্তত দুই দিক দিয়ে ই-ক্রস-বি ড্রিফট থেকে আলাদা। এই ড্রিফট কণার ভরের সমানুপাতিক এবং তার চার্জের উপরও নির্ভর করে; এই দুইটা টার্মই জাইরো-ফ্রিকোয়েন্সিতে আছে। পোলারাইজেশন ড্রিফটের দিক ইলেক্ট্রিক ফিল্ড বরাবর, কিন্তু ইলেক্ট্রন ও আয়নের ক্ষেত্রে বিপরীত দিকে কাজ করে। এর ফলে যে কারেন্ট তৈরি হয় তা হচ্ছে
+$$ \mathbf{j}_P = n_e e (\mathbf{v}_{Pi}-\mathbf{v}_{Pe}) = \frac{n_e(m_i+m_e)}{B^2} \frac{d\mathbf{E}_\perp}{dt} $$
+যা ইলেক্ট্রন ও আয়নকে বিপরীত দিকে নিয়ে যায় এবং প্লাজমাকে আয়নিত করে ফেলে। ইলেক্ট্রনের চেয়ে আয়নের ভর অনেক বেশি হওয়ায় পোলারাইজেশন কারেন্ট বাইত হয় মূলত আয়নের মাধ্যমে, কারণ ইলেক্ট্রনের ভরকে নগণ্য ধরে নেয়া যায়।
+ড্রিফট ভেলোসিটি $\mathbf{v}_d$ তে যে দুই টার্ম আছে দুইটাতেই কারেকশন করতে হতে পারে যদি ইলেক্ট্রিক ফিল্ড সময় ও স্থান দুই দিকেই হোমোজেনাস না হয়। সেক্ষেত্রে পূর্ণাঙ্গ রেলেশন হয় এমন
+\begin{align*}
+\mathbf{v}_d &=  \frac{\mathbf{E}\times\mathbf{B}}{B^2} + \frac{1}{\omega_g B} \frac{d\mathbf{E}_\perp}{dt}  \\
+&= \left(1+\frac{1}{4}r_g^2\nabla^2\right) \frac{\mathbf{E}\times\mathbf{B}}{B^2} + \frac{1}{\omega_g B} \left(\frac{\partial}{\partial t}+\mathbf{v}\cdot\nabla\right) \mathbf{E}_\perp
+\end{align*}
+যেখানে প্রথম টার্মে ইলেক্ট্রিক ও ম্যাগ্নেটিক ফিল্ডের ক্রস প্রডাক্টের সেকেন্ড স্পেইশাল ডেরিভেটিভ ($\nabla^2$) নেয়া হচ্ছে,  আর দ্বিতীয় টার্মে পার্পেন্ডিকুলার ইলেক্ট্রিক ফিল্ডের টেম্পোরাল ও স্পেইশাল দুই ডেরিভেটিভ নেয়া হচ্ছে।
+সেকেন্ড অর্ডার ইফেক্টটার নাম //ফাইনাইট লার্মার রেডিয়াস ইফেক্ট// যা তখনি প্রযোজ্য যখন জাইরেশনের অর্বিটের মধ্যে ইলেক্ট্রিক ফিল্ড অসম হয়। আর $\mathbf{v}\cdot\nabla$ দিয়ে একটা কনভেক্টিভ ডেরিভেটিভ বুঝানো হচ্ছে। ইলেক্ট্রিক ফিল্ডের মধ্যে ইলেক্ট্রনের গতির কারণে ফিল্ড যেভাবে পাল্টায় তাই কনভেক্টিভ ডেরিভেটিভ দিয়ে মাপা হয়। ইলেক্ট্রিক ফিল্ডের এই দুই কারেকশন আমরা ডেরিভেশন ছাড়াই ব্যবহার করলাম।