Abekta

This page is read only. You can view the source, but not change it. Ask your administrator if you think this is wrong.
====== হ্যামিল্টোনিয়ান মেকানিক্স ======

[[lagrangian|লাগ্রাঞ্জিয়ান মেকানিক্সে]] যেখানে নিউটনিয়ান মেকানিক্সের মতোই কোওর্ডিনেট স্পেসে কাজ করা হয়, সেখানে হ্যামিল্টোনিয়ান মেকানিক্সে ইউজ করা হয় [[phase space|ফেজ স্পেস]]। ফেজ স্পেসে একটা সিস্টেমের মোট এনার্জির নাম হ্যামিল্টোনিয়ান যা লাগ্রাঞ্জিয়ানের এক ধরনের ট্রান্সফর্মেশনের মাধ্যমে হিসাব করা যায়। হ্যামিল্টোনিয়ান ( এনার্জি ফাংশন)

$$ H(q_i,p_i,t) = \sum_i p_i \dot{q}_i - L(q_i,p_i,t) $$

যা লাগ্রাঞ্জিয়ান $L$-এর এক ধরনের লেজেন্ড্রা ট্রান্সফর্মেশন। এখানে $p_i=\partial L / \partial \dot{q}_i$ হচ্ছে মোমেন্টাম, আর $\dot{q}_i$ জেনারেলাইজড কোওর্ডিনেট $q_i$-এর প্রথম টাইম-ডেরিভেটিভ, মানে ভেলোসিটি। লাগ্রাঞ্জিয়ান মেকানিক্সে যেখানে কোওর্ডিনেট ও ভেলোসিটি ইউজ করা হয়, হ্যামিল্টোনিয়ানে সেখানে ইউজ করা হচ্ছে মোমেন্টাম ও ভেলোসিটি।

তাহলে এক্স এক্সিসে অসিলেট করতে থাকা একটা স্প্রিঙের হ্যামিল্টোনিয়ান হবে

$$ H = p\dot{x} - L = p\dot{x} - \frac{1}{2}m\dot{x}^2 + \frac{1}{2} kx^2 $$

যা আরো সরল করা যায় ভেলোসিটির জায়গায় মোমেন্টাম বসিয়ে। যেহেতু $p=\partial L / \partial \dot{x}=m\dot{x}$ সেহেতু $\dot{x}=p/m$ যা উপরের সমীকরণে বসালে পাব

$$ H = \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2} kx^2 $$

যা স্প্রিং-ম্যাস সিস্টেমের মোট এনার্জি, অর্থাৎ কাইনেটিক ও পটেনশাল এনার্জির যোগফল। লাগ্রাঞ্জিয়ান যদি হয় দুই ধরনের এনার্জির ডিফারেন্স, তবে হ্যামিল্টোনিয়ান হলো সেই দুই ধরনের এনার্জির সমষ্টি।

সময়ের সাপেক্ষে লাগ্রাঞ্জিয়ানের ইন্টিগ্রেশন করলে একশন পাওয়া যায়। তবে হ্যামিল্টোনিয়ান মেকানিক্সে অনেক সময় একশন হিসাব করা হয় কোওর্ডিনেটের সাপেক্ষে মোমেন্টামের ইন্টিগ্রাল দিয়ে। এক্ষেত্রে একশন

$$ S = \int p dq $$

যা স্প্রিং-ম্যাস সিস্টেমের মতো পিরিয়ডিক মোশনের ক্ষেত্রে একটা ক্লোজড ইন্টিগ্রাল হবে---$\oint p dq$---এবং প্লাজমার মতো সিস্টেমে যেখানে অনেক পিরিয়ডিক মোশন থাকে সেখানে একশন ভ্যারিয়েবল $J$ এবং এঙ্গেল ভ্যারিয়েবল $\theta$ একসাথে ইউজ করা হয়।