ম্যাগ্নেটিক ড্রিফট

ইলেক্ট্রোম্যাগ্নেটিক জাইরেশনের জন্য আমরা গতির যে-সমীকরণ ব্যবহার করেছি তা হলো

$$ m\frac{d\mathbf{v}}{dt} = q(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times\mathbf{B}) $$

কিন্তু এখানে ম্যাগ্নেটিক ফিল্ড ধরে নেয়া হয়েছিল হোমোজেনাস। বাস্তবে এমনটা হয় না। ম্যাগ্নেটিক ফিল্ডের গ্রেডিয়েন্ট থাকে এবং এই ফিল্ড লাইন অনেক সময় বাঁকা হয়। ইলেক্ট্রিক ড্রিফটের পাশাপাশি এই কারণে জাইরেট করতে থাকা কণার এক ধরনের ম্যাগ্নেটিক ড্রিফটও হয়। মানে জারেটিং কণার গাইডিং সেন্টার সরতে থাকে, বা জাইরেশন অর্বিটের রেডিয়াস পাল্টাতে থাকে। আমরা তিন ধরনের ম্যাগ্নেটিক ড্রিফট নিয়ে কথা বলব: গ্রেডিয়েন্ট ড্রিফট, জেনারেল ফোর্স ড্রিফট, ও কার্ভেচার ড্রিফট।

নিচের ছবির মতো, বি-ফিল্ডের গ্রেডিয়েন্ট যদি উপরের দিকে হয়, তাহলে একটা কণার জাইরোরেডিয়াস উপরের দিকে কমবে। অতএব নিচের উপরের তুলনায় নিচের দিকে জাইরোরেডিয়াস বেশি হবে। ইলেক্ট্রন ও আয়ন পরস্পরের বিপরীত দিকে ড্রিফট করবে। বি-ফিল্ডের গ্রেডিয়েন্ট বি-ফিল্ডের সাথে লম্ব, আর ড্রিফট দুইটার সাথেই লম্ব।

উপরের দিকে ম্যাগ্নেটিক ফিল্ডের এই পরিবর্তন নিচের টেইলর এক্সপানশন দিয়ে বর্ণনা করা যায়।

$$ \mathbf{B} = \mathbf{B}_0 + (\mathbf{r}\cdot\nabla)\mathbf{B}_0 $$

যেখানে $\mathbf{B}_0$ হলো $r=0$ তে ম্যাগ্নেটিক ফিল্ড, আর $\mathbf{r}$ হচ্ছে গাইডিং সেন্টার থেকে দূরত্ব। এক্সপানশনের দ্বিতীয় টার্মে বি-ফিল্ডের সেকেন্ড ডেরিভেটিভ থাকত, কিন্তু সেকেন্ড থেকে সব টার্ম নগণ্য ধরে নেয়া হয়েছে। ফার্স্ট ডেরিভেটিভ এক দিকে বি-ফিল্ডের পরিবর্তন বুঝাচ্ছে। উপরের প্রথম সমীকরণে এই সমীকরণ বসালে পাই (ই-ফিল্ড ইগ্নর করে):

$$ m\frac{d\mathbf{v}}{dt} = q(\mathbf{v}\times\mathbf{B}_0) + q[\mathbf{v}\times (\mathbf{r}\cdot\nabla)\mathbf{B}_0] $$

যেখানে দুই ধরনের ভেলোসিটি যোগ করা যায়, জাইরেশন ভেলোসিটি ও ড্রিফট ভেলোসিটি: $\mathbf{v}=\mathbf{v}_g+\mathbf{v}_\nabla$। জাইরেশনের চেয়ে ড্রিফট ভেলোসিটি অনেক কম ধরে নিলে লেখা যায়

$$ m\frac{d\mathbf{v}}{dt} = q(\mathbf{v}_\nabla\times\mathbf{B}_0) + q[\mathbf{v}_g\times (\mathbf{r}\cdot\nabla)\mathbf{B}_0] $$

কারণ প্রথম টার্মে জাইরেশন বেগ ইগ্নর করা যায় (হোমোজেনাস ফিল্ডে জাইরেশন যেহেতু এখানে বিবেচনা করার দরকার নাই), আর দ্বিতীয় টার্মে ড্রিফট বেগ ইগ্নর করা যায় কারণ তা খুব ছোট। আমরা যেহেতু এক জাইরোপিরিয়ডের চেয়ে অনেক বেশি সময়কাল নিয়ে চিন্তিত সেহেতু এক জাইরেশনের মধ্যে সব এভারেজ করা যায়। সেক্ষেত্রে উপরের সমীকরণের বাম পাশ শূন্য হবে, কারণ এক জাইরেশনের মধ্যে এক দিকে কণার এক্সিলারেশন হয়, আরেক দিকে ডিসিলারেশন হয়, তাই একে অপরকে বাতিল করে দেয়। বাম পাশে শূন্য বসিয়ে উভয় পাশকে (ইলেক্ট্রিক ড্রিফটের হিসাবের মতোই) $\mathbf{B}_0/B_0^2$ দিয়ে গুণ করলে প্রমাণ করা যাবে যে

$$ \mathbf{v}_\nabla = \frac{1}{B_0^2} \langle (\mathbf{v}_g \times (\mathbf{r}\cdot\nabla)\mathbf{B}_0) \times \mathbf{B}_0 \rangle $$

যেখানে এঙ্গেল-ব্র্যাকেট দিয়ে এক জাইরোপিরিয়ডের মধ্যে এভারেজ বুঝানো হয়েছে। বি-ফিল্ড শুধু এক্স-এক্সিস বরাবর ধরে নিলে পাওয়া যাবে

$$ \mathbf{v}_\nabla = -\frac{1}{B_0} \left\langle \mathbf{v}_g x \frac{dB_0}{dx} \right\rangle $$

যেখানে $x=x_0+r_g \sin\omega_g t$ এবং এর প্রথম ডেরিভেটিভ থেকে $\mathbf{v}_g$ পাওয়া যাবে। এই দুই রেলেশন উপরের সমীকরণে বসালে গ্রেডিয়েন্ট ড্রিফট ভেলোসিটির দুইটা কম্পোনেন্ট পাওয়া যাবে এমন:

$$ v_{\nabla x} = -\frac{v_\perp r_g}{B_0} \left\langle \sin\omega_g t \cos\omega_g t \frac{dB_0}{dx} \right\rangle $$

$$ v_{\nabla y} = \frac{v_\perp r_g}{B_0} \left\langle \sin^2\omega_g t \frac{dB_0}{dx} \right\rangle $$

যাদের মধ্যে এক্স-কম্পোনেন্ট টাইম-এভারেজ নিলে শূন্য হয়ে যাবে, কারণ তার রেলেশনে সাইন ও কোসাইন টার্মের গুণ আছে। আর সাইন-স্কয়ার টার্মের টাইমেভারেজ আমরা জানি ১/২। তাহলে

$$ \mathbf{v}_\nabla = \pm \hat{j} \frac{v_\perp r_g}{2B_0} \frac{\partial B_0}{\partial x} $$

যেখানে $\hat{j}$ ওয়াই-এক্সিস বরাবর ইউনিট ভেক্টর। প্লাস-মাইনাস সাইন রাখা হয়েছে দুই অপোজিট চার্জের জন্য। সলুশন সহজ করার জন্য এখানে বি-ফিল্ড শুধু এক্স-এক্সিস বরাবর ধরা হয়েছে। বি-ফিল্ড যেকোনো দিকে হতে পারে ভাবলে আসল সমীকরণটা হবে

$$ \mathbf{v}_\nabla = \frac{m v_\perp^2}{2qB^3} (\mathbf{B}\times \nabla B) $$

যেই রেলেশন থেকে স্পষ্ট বুঝা যাচ্ছে, ম্যাগ্নেটিক ফিল্ডের গ্রেডিয়েন্ট থাকলে এমন একটা গ্রেডিয়েন্ট ড্রিফট তৈরি হয় যা ম্যাগ্নেটিক ফিল্ড ও তার গ্রেডিয়েন্ট দুয়েরই লম্ব। এখানে যেহেতু চার্জ $q$ আছে সেহেতু ড্রিফট বিপরীত সাইনের জন্য বিপরীত দিকে হবে। ড্রিফট বেগ কণার কাইনেটিক এনার্জির সমানুপাতিক। এনার্জি বেশি হলে ড্রিফট বেশি হয়, কারণ বেশি এনার্জির কণার জাইরোরেডিয়াস বেশি এবং তাই তারা বি-ফিল্ডের অসমতা বেশি অনুভব করে। কণা যত দূরে যাবে তত ভিন্ন রকমের বি-ফিল্ডের দেখা পাবে।

পোলারাইজেশন ড্রিফটের মতোই দুই চার্জের ড্রিফট দুই দিকে হওয়ার কারণে এক্ষেত্রে একটা ট্রান্সভার্স কারেন্ট পাওয়া যায়। গ্রেডিয়েন্ট ড্রিফট কারেন্ট

$$ \mathbf{j}_\nabla = n_e e (\mathbf{v}_{\nabla i} - \mathbf{v}_{\nabla e}) = \frac{n_e(\mu_i+\mu_e)}{B^2} (\mathbf{B}\times \nabla B) $$

যেখানে ম্যাগ্নেটিক মোমেন্ট

$$ \mu = \frac{mv_\perp^2}{2B} = \frac{W_\perp}{B} $$

হচ্ছে কণার পার্পেন্ডিকুলার কাইনেটিক এনার্জি এবং ম্যাগ্নেটিক ফিল্ডের অনুপাত।

ই-ক্রস-বি ড্রিফটের সমীকরণ $\mathbf{v}_E=(\mathbf{E}\times\mathbf{B})/B^2$ এর ভিতরে যদি ইলেক্ট্রিক ফিল্ড ও কুলম্ব ফোর্সের মধ্যে রেলেশন $\mathbf{F}=q\mathbf{E}$ বসানো হয়, তাহলে পাওয়া যায় জেনারেল ফোর্স ড্রিফটের ভেলোসিটি

$$ \mathbf{v}_F = \frac{1}{\omega_g} \left(\frac{\mathbf{F}}{m}\times\frac{\mathbf{B}}{B}\right) $$

যা দিয়ে অন্য অনেক ড্রিফট ভেলোসিটিও বর্ণনা করা যায়। জাইরোভেলোসিটির তুলনায় ড্রিফট ভেলোসিটি অনেক কম হলেই ভেলোসিটির বদলে বিভিন্ন ফোর্স টার্ম উপরের সমীকরণে বসিয়ে ড্রিফট ভেলোসিটি বের করা যায়। গ্রেডিয়েন্ট ড্রিফট, পোলারাইজেশন ড্রিফট ও গ্র্যাভিটেশনাল ড্রিফটের জন্য ফোর্স টার্মগুলি নিচে পর-পর দেখানো হয়েছে।

$$ \mathbf{F}_\nabla = -\mu \nabla B \\ \mathbf{F}_P = -m \frac{d\mathbf{E}}{dt} \\ \mathbf{F}_G = -m \mathbf{g} $$

মহাকর্ষ বল অন্য সব ফোর্সের চেয়ে অনেক দুর্বল হওয়ায় সোলার সিস্টেমে একমাত্র সূর্যের সার্ফেস ছাড়া আর কোথাও গ্র্যাভিটেশনাল ড্রিফট উল্লেখযোগ্য হয় না, ইগ্নর করা যায়।

জেনারেল ফোর্স ড্রিফটের সমীকরণ থেকে এটা পরিষ্কার যে একমাত্র কুলম্ব ফোর্স ছাড়া অন্য সব ফোর্সের ক্ষেত্রে ড্রিফট বেগ চার্জের সাইনের উপর নির্ভর করে। কুলম্ব ফোর্সের ক্ষেত্রে $\omega_g$ তে থাকা চার্জ কুলম্ব ফোর্সের রেলেশনে থাকা চার্জের মাধ্যমে বাতিল হয়ে যায়, এবং চূড়ান্ত সমীকরণে আর চার্জ-টার্ম থাকে না। তাই একমাত্র কুলম্ব ফোর্স ছাড়া অন্য সব ফোর্স থেকে তৈরি হওয়া ড্রিফটের কারণেই ট্রান্সভার্স কারেন্ট পাওয়া যায়। প্রতি ক্ষেত্রেই ড্রিফট ভেলোসিটি বাহক কণার ভরের উপর নির্ভর করে, একেক বাহকের জন্য কারেন্ট তাই একেক রকম।

ম্যাগ্নেটিক ফিল্ড হোমোজেনাস না হলে গ্রেডিয়েন্ট ড্রিফট পাওয়া যায়, আর ম্যাগ্নেটিক ফিল্ড লাইন যদি বাঁকা হয়, তাহলে তার উপর পাওয়া যায় কার্ভেচার ড্রিফট। বি-ফিল্ডের প্যারালাল দিকে কণার যে বেগ থাকে তার কারণে কণা এক ধরনের সেন্ট্রিফুগাল ফোর্স অনুভব করে:

$$ \mathbf{F}_R = m v_\parallel^2 \frac{\mathbf{R}_c}{R_c^2} $$

যেখানে $\mathbf{R}_c$ হলো লোকাল কার্ভেচারের রেডিয়াস। নিচে বি-ফিল্ডের বাঁকা লাইনের চারদিকে জাইরেট করতে থাকা একটা কণা যে-সেন্ট্রিফুগাল ফোর্স অনুভব করে তা দেখানো হয়েছে।

জেনারেল ফোর্স ড্রিফটের রেলেশনে উপরের সমীকরণ ইউজ করলেই পাওয়া যায়

$$ \mathbf{v}_R = \frac{mv_\parallel^2}{q} \frac{\mathbf{R}_c\times\mathbf{B}}{R_c^2 B^2} $$

অর্থাৎ কার্ভেচার ড্রিফট নির্ভর করে কণার প্যারালাল কাইনেটিক এনার্জি $W_\parallel=mv_\parallel^2/2$ এর উপর। এই ড্রিফটের বেগ ম্যাগেন্টিক ফিল্ড লাইন ও তার কার্ভেচারের রেডিয়াস দুয়ের সাথেই লম্ব (ক্রস প্রডাক্ট)। এখানেও একটা ট্রান্সভার্স কারেন্ট তৈরি হয়। কার্ভেচার ড্রিফট কারেন্ট

$$ \mathbf{j}_R = n_e e (\mathbf{v}_{Ri} - \mathbf{v}_{Re} = \frac{2n_e(W_{i\parallel}+W_{e\parallel})}{R_c^2B^2} (\mathbf{R_c\times\mathbf{B}}) $$

যার দিক কার্ভেচার ড্রিফট ভেলোসিটির দিকেই, মানে বি-ফিল্ড ও তার লাইনের কার্ভেচার দুয়ের সাথেই লম্বালম্বি।

ম্যাগ্নেটিক ফিল্ড যদি সিমেট্রিক হয়, তাহলে $-\nabla B = (B/R_c^2)\mathbf{R}_c$ এবং এক্ষেত্রে গ্রেডিয়েন্ট ও কার্ভেচার ড্রিফট একসাথে করে টোটাল ম্যাগ্নেটিক ড্রিফটের একটা সমীকরণ লেখা যায়।

$$ \mathbf{v}_B = \mathbf{v}_R + \mathbf{v}_\nabla = (v_\parallel^2+\frac{1}{2}v_\perp^2) \frac{\mathbf{B}\times\nabla B}{\omega_g B^2} $$

যা পৃথিবীর ম্যাগ্নেটোস্ফিয়ারের জন্য অনেক গুরুত্বপূর্ণ। এই টোটাল ম্যাগ্নেটিক ড্রিফটের কারণেই আমাদের ম্যাগ্নেটোস্ফিয়ারে পাওয়া যায় রিং কারেন্ট।