লাগ্রাঞ্জিয়ান মেকানিক্স

লাগ্রাঞ্জিয়ান মেকানিক্সে একটা সিস্টেমের ডায়নামিক্স ব্যাখ্যা করা হয় কাইনেটিক ও পটেনশাল এনার্জির ডিফারেন্স দিয়ে। এই ডিফারেন্সের নাম লাগ্রাঞ্জিয়ান

$$ L = T - V $$

যেখানে $T$ সিস্টেমটার মোট কাইনেটিক এনার্জি, অর্থাৎ সিস্টেমের সব কণার গতির সাথে সম্পর্কিত শক্তি, আর $V$ তার মোট পটেনশাল এনার্জি, মানে একটা ফোর্স-ফিল্ডের মধ্যে বিভিন্ন কণার পজিশনের সাথে সম্পর্কিত শক্তি।

নিউটনিয়ান মেকানিক্সে যেখানে সব ভেক্টর ফোর্স হিসাব করার মাধ্যমে সিস্টেমের ডায়নামিক্স বুঝতে হয়, লাগ্রাঞ্জিয়ান মেকানিক্সে সেখানে স্কেলার এনার্জি ইউজ করে সবচেয়ে কম একশনের পাথ বের করা যায়। লাগ্রাঞ্জিয়ানের সাময়িক ইন্টিগ্রালের নাম একশন

$$ S = \int_{t_1}^{t_2} L dt $$

যেখানে $t$ সময়। লিস্ট-একশনের নীতি বলে, একটা সিস্টেম যেকোনো দুইটা পয়েন্টের মধ্যে সেই পথই অনুসরণ করবে যেই পথ অনুসরণ করলে তার একশনের মান সবচেয়ে কম হয়।

সিস্টেমের গতির সমীকরণ বের করতে হলে এই লাগ্রাঞ্জিয়ানকে অয়লার-লাগ্রাঞ্জ সমীকরণে বসাতে হয় এইভাবে:

$$ \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\right) - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0 $$

যেখানে $q_i$ এক ধরনের জেনারেলাইজড কোওর্ডিনেট, আর $\dot{q}_i$ জেনারেলাইজড ভেলোসিটি যা জেনারেলাইজড কোওর্ডিনেটের প্রথম টাইম-ডেরিভেটিভ। কার্তেসিয়ান কোওর্ডিনেটের ক্ষেত্রে $i=(x,y,z)$ এবং প্রত্যেক কোওর্ডিনেটের জন্য একটা করে ইকুয়েশন-অফ-মোশন পাওয়া যাবে।

এই অসিলেটরের ক্ষেত্রে লাগ্রাঞ্জিয়ান হিসাব করা একটা ভালো উদাহরণ হতে পারে। একটা স্প্রিঙের (স্প্রিং কনস্টেন্ট $k$) সাথে বাঁধা একটা ম্যাস $m$ যদি এক্স এক্সিসে অসিলেট করে তবে তার লাগ্রাঞ্জিয়ান

$$ L = T - V = \frac{1}{2}m\dot{x}^2 - \frac{1}{2} k x^2 $$

যা অয়লার-লাগ্রাঞ্জ ইকুয়েশনে বসালেই গতির সমীকরণ চলে আসবে:

$$ m\ddot{x} + kx = 0 \Rightarrow \ddot{x} \propto -x $$

অর্থাৎ ত্বরণ সরণের সমানুপাতিক এবং ত্বরণের দিক সরণের বিপরীত দিকে।