ইলেক্ট্রোম্যাগ্নেটিক জাইরেশন

ইলেক্ট্রিক ($\mathbf{E}$) ও ম্যাগ্নেটিক ($\mathbf{B}$) ফিল্ডের ভিতরে $q$ চার্জের একটা কণার জাইরেশন (হেলিকেল ঘূর্ণন) হয় কুলম্ব ফোর্স ও লরেঞ্জ ফোর্সের যৌথ প্রভাবে।¹⁾ এই পার্টিকেলের গতির সমীকরণ লেখা যায় এভাবে:

$$m\frac{d\mathbf{v}}{dt} = q(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times\mathbf{B})$$

যেখানে $m$ পার্টিকেলের ভর এবং $\mathbf{v}$ তার বেগ। ইলেক্ট্রিক ফিল্ড না থাকলে এই ইকুয়েশনে শুধু লরেঞ্জ ফোর্সের অংশটা থাকবে। তার পর দুই সাইডের সাথে ভেলোসিটির ডট প্রডাক্ট নিলে পাওয়া যাবে:

$$m\frac{d\mathbf{v}}{dt} \cdot \mathbf{v} = q (\mathbf{v}\times\mathbf{B}) \cdot \mathbf{v} \ \Rightarrow \frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}mv^2\right) = 0$$

কারণ $\mathbf{v}\cdot (\mathbf{v}\times\mathbf{B})=0$ এবং দুই সাইডকেই দুই দিয়ে ভাগ করা হয়েছে। তার মানে এই কণার কাইনেটিক এনার্জি ($mv^2/2$) এবং ভেলোসিটির ম্যাগ্নিচুড (স্পিড) দুইটাই কনস্টেন্ট। স্থির ম্যাগ্নেটিক ফিল্ড কখনো পার্টিকেলের কাইনেটিক এনার্জি পাল্টাতে পারে না।

একটা স্থির চুম্বকক্ষেত্রে $z$-এক্সিস বরাবর থাকলে, $\mathbf{B}=B\hat{k}$ এবং গতির সমীকরণে তিনটা কম্পোনেন্ট তখন হবে

$$\begin{align*} & m\dot{v}_x = qBv_y \\ & m\dot{v}_y = - qBv_x \\ & m\dot{v}_z = 0 \end{align*}$$

যেখানে $\dot{v}_x=dv_x/dt$ হলো প্রথম ডেরিভেটিভ; তিন কম্পোনেন্টের জন্য একই রকম। শেষ ইকুয়েশনটা বলে, ম্যাগ্নেটিক ফিল্ডের প্যারালাল দিকে ভেলোসিটির $z$-কম্পোনেন্ট কনস্টেন্ট। প্রথম ইকুয়েশনকে আবার ডিফারেনশিয়েট করলে সেকেন্ড ডেরিভেটিভ পাওয়া যাবে এই রকম।

$$\begin{align*} & m\ddot{v}_x = qB\dot{v}_y = qB(-qBv_x/m) \\ & \Rightarrow \ddot{v}_x = -\left(\frac{qB}{m}\right)^2 v_x = -\omega_g^2 v_x \end{align*}$$

যেখানে $\omega_g=(qB/m$) হলো জাইরোফ্রিকোয়েন্সি বা সাইক্লোট্রন কম্পাঙ্ক, যার সাইন পজিটিভ ও নেগেটিভ চার্জের জন্য অপোজিট হয়। একইভাবে দেখানো যায় $\ddot{v}_y = -\omega^2_g v_y$ অন্য কম্পোনেন্টটার জন্য। সেকেন্ড ডেরিভেটিভের এই দুই ইকুয়েশন আসলে হার্মনিক অসিলেটরের (ছন্দিত স্পন্দক) ইকুয়েশন যাদের সমাধান এই রকম:

$$\begin{align} & x - x_0 = r_g \sin\omega_g t \label{ho1} \\ & y - y_0 = r_g \cos\omega_g t \label{ho2} \end{align}$$

যেখানে ডিসপ্লেসমেন্টের দুই কম্পোনেন্টেরর সাইন ইলেক্ট্রন ও আয়নের জন্য বিপরীত হবে। এবং জাইরোরেডিয়াস

$$r_g = \frac{v_\perp}{|\omega_g|} = \frac{mv_\perp}{|q|B}$$

যেখানে $v_\perp = (v_x^2+v_y^2)^{1/2}$ হলো ম্যাগ্নেটিক ফিল্ডের পার্পেন্ডিকুলার প্লেইনে কনস্টেন্ট স্পিড।

এখন ইকুয়েশন $\ref{ho1}$ ও $\ref{ho2}$ অনুযায়ী যে গতিপথ পাওয়া যায় তা আসলে একটা সার্কুলার অর্বিট। এই অর্বিটের কেন্দ্র $(x_0,y_0)$ কে বলা হয় গাইডিং সেন্টার। এই কেন্দ্রের চারদিকে অর্বিট বরাবর একটা সার্কুলার কারেন্ট আছে। এই কারেন্টের কারণে যে-ইন্টার্নাল ম্যাগ্নেটিক ফিল্ড তৈরি হয় তা এই কারেন্ট সৃষ্টিকারী এক্সটার্নাল ম্যাগ্নেটিক ফিল্ডের বিপরীতে কাজ করে। এর নাম ডায়াম্যাগ্নেটিক ইফেক্ট।

ম্যাগ্নেটিক ফিল্ডের প্যারালালে যদি পার্টিকেলের ভেলোসিটির কোনো কম্পোনেন্ট না থাকে তাহলে কণা বৃত্তাকার পথে ঘুরতে থাকবে। কিন্তু যদি প্যারালালে একটা কম্পোনেন্ট থাকে ($v_z$ বা $v_\parallel$), তাহলে কণার গতিপথ হবে হেলিক্সের মতো প্যাচানো যা নিচে দেখানো হয়েছে।

ম্যাগ্নেটিক ফিল্ডের দিকে এক অর্বিট থেকে আরেক অর্বিটের দূরত্বকে পিচ বলে, যা আমরা সাধারণত পিচ এঙ্গেল ($\alpha$) দিয়ে মাপি:

$$\alpha = \tan^{-1} \frac{v_\perp}{v_\parallel}$$

অর্থাৎ পিচ এঙ্গেল কণার বেগের দুই কম্পোনেন্টের অনুপাতের উপর নির্ভর করে।