====== এডায়াবেটিক ইনভেরিয়েন্ট ======

[[plasma|প্লাজমার]] ভিতরে, যেমন সোলার সিস্টেমের প্লাজমায়, যেসব কোয়ান্টিটি সময় ও স্থানে খুব ধীরে পাল্টায়, অর্থাৎ নির্দিষ্ট সীমার মধ্যে বা সময়ের মধ্যে প্রায় কনস্টেন্ট থাকে তাদেরকে এডায়াবেটিক ইনভেরিয়েন্ট বলে। একটা ভালো উদাহরণ ম্যাগ্নেটিক মোমেন্ট $\mu=W_\perp/B$ যা আমরা [[magnetic-drift|ম্যাগ্নেটিক ড্রিফট]], বিশেষ করে গ্রেডিয়েন্ট ড্রিফট নিয়ে কথা বলার সময় দেখেছি।

একটা প্লাজমায় পার্টিকেলের যত ধরনের গতি থাকে তার প্রতিটার জন্যই একটা করে এডায়াবেটিক ইনভেরিয়েন্ট পাওয়া যায়। যেমন, কণার জাইরেশনের সাথে সম্পর্কিত ইনভেরিয়েন্ট হচ্ছে ম্যাগ্নেটিক মোমেন্ট $\mu$, ম্যাগ্নেটিক ফিল্ড লাইন বরাবর যে লঙ্গিচুডিনাল গতি পাওয়া যায় তার জন্য আছে লঙ্গিচুডিনাল ইনভেরিয়েন্ট $J$, আর ম্যাগ্নেটিক ফিল্ডের পার্পেন্ডিকুলার সব ড্রিফটের সাথে সম্পর্কিত হলো তৃতীয় আরেকটি ইনভেরিয়েন্ট: ড্রিফট ইনভেরিয়েন্ট $\Phi$।

এই তিন ধরনের গতি যখন পিরিয়ডিক হয়, এবং বিভিন্ন কণার অসিলেশনের গড় ফ্রিকোয়েন্সির তুলনায় যখন সিস্টেমের বিভিন্ন চেঞ্জের এঙ্গুলার ফ্রিকোয়েন্সি অনেক কম হয়, তখন [[hamiltonian|হ্যামিল্টোনিয়ান]] একশন ইন্টিগ্রাল

$$ J = \oint p_i dq_i $$

সময়ের সাথে পাল্টায় না, এবং এই একশনকেই তখন এডায়াবেটিক ইনভেরিয়েন্ট বলা যায়। এখানে তিন ধরনের ইনভেরিয়েন্ট নিয়েই আলোচনা করা হচ্ছে।

===== - ম্যাগ্নেটিক মোমেন্ট =====

ম্যাগ্নেটিক মোমেন্ট $\mu$ যে গতির সাথে ইনভেরিয়েন্ট বা কনস্টেন্ট তা প্রমাণের জন্য এনার্জি-কনজার্ভেশন নীতি ব্যবহার করা যায়। ম্যাগ্নেটিক ফিল্ডের প্যারালাল ও পার্পেন্ডিকুলার দিকে কণার কাইনেটিক এনার্জির সমষ্টি কখনো পাল্টাতে পারে না, মানে

$$ \frac{dW_\parallel}{dt} + \frac{d W_\perp}{dt} = 0$$

কিন্তু দুই এনার্জির সাথে ম্যাগ্নেটিক মোমেন্টের সম্পর্ক ডিরাইভ করে দেখানো যায় যে

$$ \frac{dW_\parallel}{dt} + \frac{d W_\perp}{dt} = B\frac{d\mu}{dt} = 0$$

অর্থাৎ ম্যাগ্নেটিক মোমেন্ট কনস্টেন্ট। কণার গতিপথে ম্যাগ্নেটিক ফিল্ড পাল্টালে (স্থানের সাথে) তার জাইরেশনের ফ্রিকোয়েন্সি ও রেডিয়াসে যে পরিবর্তন আসে তার কারণে ম্যাগ্নেটিক মোমেন্টে কোনো পরিবর্তন আসে না।

স্থানের সাথে ইলেক্ট্রিক ফিল্ড পাল্টালে সময়ের সাথে ম্যাগ্নেটিক ফিল্ড পাল্টায়, কারণ $\partial \mathbf{B}/dt=-\nabla\times E$, ম্যাগ্নেটিক ফিল্ডের সাময়িক পরিবর্তনের হার ইলেক্ট্রিক ফিল্ডের কার্লের সমানুপাতিক ও তার বিপরীত দিকে কাজ করে। কিন্তু ইলেক্ট্রিক ফিল্ডের এই স্থানিক পরিবর্তন বা ম্যাগ্নেটিক ফিল্ডের এই কালিক পরিবর্তনের কারণেও ম্যাগ্নেটিক মোমেন্ট পাল্টায় না।

একইভাবে ইলেক্ট্রিক ফিল্ডের কালিক পরিবর্তন ম্যাগ্নেটিক ফিল্ডে সেকেন্ড-অর্ডার কালিক পরিবর্তন তৈরি করে, যা নগণ্য ধরে নেয়া যায়।

ম্যাগ্নেটিক মোমেন্ট যদি ইনভেরিয়েন্ট হয়, তাহলে জাইরেশনের অর্বিট ঘিরে রাখা সার্ফেস দিয়ে লম্বভাবে প্রবাহিত ম্যাগ্নেটিক ফ্লাক্সও ইনভেরিয়েন্ট হবে। ম্যাগ্নেটিক ফ্লাক্স $\Phi_\mu = B\pi r_g^2$ যেখানে জাইরো-রেডিয়াস $r_g=mv_\perp/(qB)$; তাহলে

$$ \Phi_\mu = \pi B \left(\frac{m v_\perp}{qB}\right)^2 = \pi B \frac{mv_\perp^2}{2B} \frac{2m}{q^2B} = \frac{2\pi m}{q^2} \mu $$

যা ম্যাগ্নেটিক মোমেন্টের মতোই ইনভেরিয়েন্ট হবে। একটা পার্টিকেল যত স্ট্রং ম্যাগ্নেটিক ফিল্ডের দিকে যাবে তার জাইরো-অর্বিট তত ছোট হতে থাকবে, যাতে সেই অর্বিট দিয়ে ঘেরা ম্যাগ্নেটিক ফ্লাক্স না পাল্টায়।

==== - ম্যাগ্নেটিক মিরর ====

ইনহোমোজেনাস ম্যাগ্নেটিক ফিল্ডের মধ্যে চলা একটা কণার ম্যাগ্নেটিক মোমেন্ট

$$ \mu = \frac{mv^2\sin^2\alpha}{2B} $$

যেখানে $v_\perp=v\sin\alpha$ এবং পিচ এঙ্গেল $\alpha = \tan^{-1}(v_\perp/v_\parallel)$। এই সমীকরণে শুধু ম্যাগ্নেটিক মোমেন্ট ও মোট কাইনেটিক এনার্জি পাল্টাবে না, সুতরাং ম্যাগ্নেটিক ফিল্ডের পরিবর্তনের সাথে পাল্টাবে শুধু পিচ এঙ্গেল:

$$ \sin^2 \alpha \propto B $$

অর্থাৎ এক জায়গায় কণার পিচ এঙ্গেল জানলে ম্যাগ্নেটিক ফিল্ডের মাধ্যমে অন্য সব জায়গায় পিচ এঙ্গেল বের করা যাবে।

পৃথিবীর ম্যাগ্নেটিক ফিল্ড কনভার্জিং, মানে তার ফিল্ড লাইন এক মেরু থেকে বের হয়ে অন্য মেরুতে গিয়ে মিলিত হয়। একটা কণা মেরুর যত কাছে যাবে ম্যাগ্নেটিক ফিল্ড তত স্ট্রং হবে, এবং পিচ এঙ্গেল তত বাড়বে। মানে ম্যাগ্নেটিক ফিল্ডের প্যারালাল দিকের কাইনেটিক এনার্জি কমবে আর পার্পেন্ডিকুলার দিকের এনার্জি বাড়বে। এঙ্গেল বাড়তে বাড়তে যদি $\alpha=90^\circ$ হয় তাহলে কণা উল্টা ঘুরে যাবে, কারণ এখানে ফিল্ডে প্যারালাল দিকে কোনো এনার্জি থাকবে না, সব এনার্জি থাকবে পার্পেন্ডিকুলার দিকে। এখানে কণাকে উল্টা দিকে ঘুরিয়ে দেয়ার এনার্জি আসে গ্রেডিয়েন্ট ফোর্স $F_\nabla = -\mu \nabla B$ থেকে, যার আরেক নাম মিরর ফোর্স।

পৃথিবীর ম্যাগ্নেটিক ফিল্ড যেহেতু ডাইপোলার সেহেতু এক মেরু থেকে আরেক মেরুতে কণার এই রিফ্লেকশন সব সময় হতে থাকে। অর্থাৎ ম্যাগ্নেটিক ফিল্ড লাইনের চারদিকে জাইরেট করা সব কণা ট্র্যাপড হয়ে যায়। এই সব ট্র্যাপড পার্টিকেলের পিচ এঙ্গেল বের করা হয় মিরর পয়েন্টের ম্যাগ্নেটিক ফিল্ড $B_m$ এর সাপেক্ষে:

$$ \sin\alpha = \sqrt{\frac{B}{B_m}} $$

এভাবেই ফিল্ড লাইনের চারদিকে জাইরেট করতে থাকা বন্দি কণার রিফ্লেকশন হতে থাকে।

এক ম্যাগ্নেটিক ফিল্ড লাইন থেকে আরেক লাইনের দিকে ড্রিফট করতে থাকা কণার ক্ষেত্রেও ম্যাগ্নেটিক মোমেন্টের একটা গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা আছে। ম্যাগ্নেটিক মোমেন্ট ইভেরিয়েন্ট অর্থাৎ কনস্টেন্ট হলে

$$ W_\perp \propto B $$

অর্থাৎ ফিল্ড বাড়লে পার্পেন্ডিকুলার কাইনেটিক এনার্জি বাড়বে। কিন্তু এক্ষেত্রে কোনো রিফ্লেকশন হবে না। ড্রিফটের মাধ্যমে কণা যত স্ট্রং ফিল্ডের দিকে যাবে লম্ব দিকে তার এনার্জি তত বাড়বে, অর্থাৎ তাপমাত্রা তত বাড়বে। এখানে উইক থেকে স্ট্রং ফিল্ডে দিকে পার্টিকেল যাচ্ছে কনভেক্টিভ ট্রান্সপোর্টের মাধ্যমে। এই কারণে তার তাপমাত্রা বাড়াকে //এডায়াবেটিক হিটিং// বলা হয়। এটা এক ধরনের //বিটাট্রন এক্সিলারেশন//। প্যারালাল এনার্জি না বেড়ে শুধু পার্পেন্ডিকুলার এনার্জি বাড়ে বলে এখানে একটা এনিসট্রপি তৈরি হয়।

===== - লঙ্গিচুডিনাল ইনভেরিয়েন্ট =====

ডাইপোল ফিল্ডের ক্ষেত্রে যখন মিরর সিমেট্রি থাকে, অর্থাৎ ফিল্ড লাইন দুই মেরুতেই মিলিত হয়, তখন এই ইনভেরিয়েন্ট পাওয়া যায়। এই ধরনের ফিল্ডে কণা এক মেরু থেকে আরেক মেরুতে //বাউন্স// করতে থাকে একটা নির্দিষ্ট বাউন্স ফ্রিকোয়েন্সি $\omega_b$তে। লঙ্গিচুডিনাল ইনভেরিয়েন্ট

$$ J = \oint m v_\parallel ds $$

যেখানে $v_\parallel$ ফিল্ডের প্যারালাল দিকে বেগ, আর ইন্টিগ্রেশন করতে হবে একটা সম্পূর্ণ অসিলেশনের মধ্যে কণার যাত্রাপথ $ds$ বরাবর। ইলেক্ট্রোম্যাগ্নেটিক সব পরিবর্তনের কম্পাঙ্ক যদি বাউন্স ফ্রিকোয়েন্সির চেয়ে অনেক কম হয়, তাহলে লঙ্গিচুডিনাল ইনভেরিয়েন্ট ধ্রুব থাকে।

দুই মেরুর কাছের দুই মিরর পয়েন্টের মধ্যে দূরত্ব যদি $l$ হয় এবং এর মধ্যে কণার গড় প্যারালাল বেগ যদি $\langle v_\parallel \rangle$ হয় তাহলে

$$J=2ml \langle v_\parallel \rangle$$

কারণ এক অসিলেশনের মধ্যে কণা এই দূরত্ব দুই বার অতিক্রম করে। ড্রিফটের সময় কণা এক ফিল্ড লাইন থেকে আরেক লাইনের দিকে গেলে তার অতিক্রম করা দূরত্ব পাল্টাবে এবং সেক্ষেত্রে প্যারালাল কাইনেটিক এনার্জিও পাল্টাবে। উপরের সমীকরণ স্কয়ার করলে সহজেই দেখানো যায় যে

$$ \langle W_\parallel \rangle \propto l^{-2} $$

অর্থাৎ দূরত্ব যত কমে কণার প্যারালাল কাইনেটিক এনার্জি তত বাড়ে। এটাই //ফার্মি এক্সিলারেশনের// ভিত্তি। আগে দেখা পার্পেন্ডিকুলার কাইনেটিক এনার্জির সাথে মিলিয়ে দুই এনার্জির মধ্যে এনিসট্রপির সংজ্ঞা দেয়া যায় এভাবে:

$$ A_W = \frac{\langle W_\perp \rangle}{\langle W_\parallel \rangle} $$

এবং ম্যাগ্নেটিক মিররের ক্ষেত্রে পাওয়া পার্পেন্ডিকুলার এনার্জির সম্পর্কের সাথে মিলিয়ে দেখানো যায় যে

$$ A_W \propto Bl^2 $$

অর্থাৎ এনিসট্রপি বাড়বে কেবল যদি ম্যাগ্নেটিক ফিল্ড যত বাড়ছে ফিল্ড লাইনের দৈর্ঘ্যের বর্গ তার চেয়ে কম কমে।

===== - ড্রিফট ইনভেরিয়েন্ট =====

উপরে যে ম্যাগ্নেটিক ফ্লাক্সের কথা বলা হয়েছে তাই আসলে ড্রিফট ইনভেরিয়েন্ট, তবে ড্রিফট মোশনের ক্ষেত্রে। ব্যাখ্যা করা যাক। আগেই বলেছি যে পৃথিবীর ম্যাগ্নেটিক ফিল্ডে বন্দি কণার তিন ধরনের গতি আছে: জাইরেশন, বাউন্স, ড্রিফট। ড্রিফট হয় ম্যাগ্নেটিক ফিল্ডের লম্ব দিকে, এক লাইন থেকে আরেক লাইনের দিকে। কণা যদি ড্রিফট করতে করতে ম্যাগ্নেটিক ফিল্ড এক্সিসের চারদিকে পুরো পৃথিবী ঘুরে আসে তবে তার গতিপথকে বলা হয় ড্রিফট শেল। এই শেল দিয়ে ঘেরা ম্যাগ্নেটিক ফ্লাক্স কখনো পাল্টায় না, মানে তা ইনভেরিয়েন্ট। ড্রিফট ইনভেরিয়েন্ট

$$ \Phi = \oint v_d r d\psi $$

যেখানে $v_d$ সব পার্পেন্ডিকুলার ড্রিফট ভেলোসিটির সমষ্টি, $r$ ড্রিফট শেলের রেডিয়াস, এবং $\psi$ এজিমুথাল এঙ্গেল। কণার পুরো ড্রিফট শেলের উপর ইন্টিগ্রেশন করতে হবে ০ থেকে ৩৬০ ডিগ্রি পর্যন্ত। ইলেক্ট্রোম্যাগ্নেটিক ফিল্ডের কম্পাঙ্ক যদি ড্রিফট কম্পাঙ্কের চেয়ে অনেক কম হয় তাহলেই এই ফ্লাক্স ইনভেরিয়েন্ট থাকে।

আগে ম্যাগ্নেটিক মোমেন্টের সাপেক্ষে ম্যাগ্নেটিক ফ্লাক্স বের করা হয়েছিল জাইরেশন অর্বিটের চারদিকে। একইভাবে ড্রিফট অর্বিটের চারদিকে ম্যাগ্নেটিক ফ্লাক্স

$$ \Phi = \frac{2\pi m}{q^2} M $$

যেখানে $M$ এক্সিসিমেট্রিক ফিল্ডের ম্যাগ্নেটিক মোমেন্ট, মানে ড্রিফট শেলের সাপেক্ষে ম্যাগ্নেটিক মোমেন্ট।

===== - ইনভেরিয়েন্সের ভায়োলেশন =====

এই তিন ইনভেরিয়েন্স অবশ্যই নির্দিষ্ট কিছু কম্পাঙ্কের মধ্যে কার্যকর। ম্যাগ্নেটিক মোমেন্ট ধ্রুব থাকবে কেবল যদি ইলেক্ট্রোম্যাগ্নেটিক কম্পাঙ্ক $\omega$, মানে ইলেক্ট্রিক ও ম্যাগ্নেটিক ফিল্ডের পরিবর্তনের হার, জাইরো-ফ্রিকোয়েন্সির চেয়ে কম হয়। বেশি হলে ($\omega>\omega_g$) ম্যাগ্নেটিক মোমেন্ট আর ইনভেরিয়েন্ট থাকবে না। সেক্ষেত্রে গাইডিং সেন্টারের আর কোনো অর্থই থাকবে না, এবং জাইরেশনের মতো সিম্পল কিছু দিয়ে সেই কণার গতি ব্যাখ্যা করা যাবে না।

লঙ্গিচুডিনাল ইনভেরিয়েন্ট সত্য থাকে কেবল যদি ইলেক্ট্রোম্যাগ্নেটিক কম্পাঙ্ক জাইরো-ফ্রিকোয়েন্সির চেয়ে বেশি হয়, কিন্তু বাউন্স ফ্রিকোয়েন্সির চেয়ে কম হয়। অর্থাৎ $\omega_g > \omega>\omega_b$ হলে এই ইনভেরিয়েন্ট আর সত্য থাকবে না এবং কণার গতি দুই মিরর পয়েন্টের মধ্যে সরল বাউন্স দিয়ে আর ব্যাখ্যা করা যাবে না।

ড্রিফট ইনভেরিয়েন্টও আর সত্য থাকে না যদি ইলেক্ট্রোম্যাগ্নেটিক কম্পাঙ্ক জাইরো-ফ্রিকোয়েন্সি ও বাউন্স ফ্রিকোয়েন্সির চেয়ে কম হয়, কিন্তু ড্রিফট ফ্রিকোয়েন্সির চেয়ে বেশি হয়, অর্থাৎ যদি $(\omega_g,\omega_b)>\omega>\omega_d$ হয়। এক্ষেত্রে কণার জাইরেশন ও বাউন্স হবে, কিন্তু ড্রিফট শেল বরাবর ড্রিফট হবে না, ড্রিফট হবে রেন্ডম ডিফিউশনের মাধ্যমে।